ความน่าจะเป็น

  

            ในชีวิตประจำวันเราอยู่กับเหตุการณ์ต่าง ๆ และมีคำถามอยู่ในใจตลอดเวลา เช่น

§ พรุ่งนี้ฝนจะตกหรือไม่
§ บางทีเราต้องไปทำงานวันนี้
§นายกอาจลาออกและยุบสภาเร็ว ๆ นี้
§ทีมฟุตบอลทีมใดจะได้เป็นแชมป์โลก
§ใครชนะเลือกตั้งในสมัยหน้า

                 คำว่า "ความน่าจะเป็น" หรือ "Probability" เป็นวิธีการวัดความไม่แน่นอนในรูปแบบคณิตศาสตร์                  ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ หมายถึง ค่าที่บอกให้ทราบว่า เหตุการณ์ที่สนใจนั้นมีโอกาสเกิดขึ้นมากน้อยเพียงใด เมื่อผลทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นจากการทดลองสุ่มแต่ละตัวมีโอกาสเกิดขึ้นได้เท่า ๆ กัน เรียกความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่หาโดยวิธีนี้ว่า ความน่าจะเป็นในทางปฏิบัติ (Empirical probability) เช่น เมื่อโยนเหรียญ ความน่าจะเป็นของเหรียญที่จะออกหัวหรือก้อยเท่ากับ 0.5
                ดังนั้นเหตุการณ์ต่าง ๆ ที่เกิดขึ้นในอนาคตเป็นสิ่งที่ยากจะคาดเดาได้ถูกต้องร้อยเปอร์เซ็นต์ นักอุตุนิยมวิทยาจึงใช้หลักการของความน่าจะเป็นเข้ามาทำนาย เช่น ความน่าจะเป็นของการเกิดฝนตกใน กรุงเทพมหานคร ในวันพรุ่งนี้มีค่าเท่ากับ 0.7
                 ความน่าจะเป็น เป็นค่าที่อาจมีความหมายที่หลายคนเข้าใจได้ไม่ยาก ความน่าจะเป็น เป็นศาสตร์ที่มีความละเอียดอ่อนที่จะนำไปประยุกต์ใช้ โดยเฉพาะเหตุการณ์ในชีวิตประจำวันต่าง ๆ ความน่าจะเป็นมีการกำหนดค่าเป็นเศษส่วนหรือเป็นเปอร์เซ็นต์หรือให้มีค่าระหว่าง 0 ถึง 1 เช่น ถ้านำลูกเต๋า ทอยลงบนพื้น โอกาสที่จะปรากฏหน้า 1 มีค่าเท่ากับ 1/6 หรือ 16.6 เปอร์เซ็นต์ ถ้าโยนเหรียญหนึ่งเหรียญ และให้ตกบนพื้น (โยนแบบยุติธรรม) โอกาสที่จะปรากฏหัวเท่ากับ 1/2 หรือ 0.5

การหาค่าความน่าจะเป็น
สามารถวัดหาค่าความน่าจะเป็นได้สองวิธี (บางทีเป็น 3 วิธี) ขึ้นกับสภาวะแวดล้อม
เมื่อเหตุการณ์ปรากฏมีลักษณะเหมือน ๆ กัน
             สมมุติว่าทอยเหรียญจะมีโอกาสที่เป็นไปได้สองแบบคือ หัว หรือก้อย ถ้าเหรียญเป็นเหรียญปกติ การทอยทอยอย่างยุติธรรม ผลที่เกิดหัวหรือก้อยมีลักษณะเท่าเทียมกัน

        ทำนองเดียวกันที่เราทอยลูกเต๋า โอกาสที่ลูกเต๋าจะปรากฏหน้า 1, 2, 3, 4, 5 และ 6 มีได้เท่ากัน ดังนั้นความน่าจะเป็นของการทอยลูกเต๋าให้ปรากฏหน้าที่เป็นเลขคู่

        ประชากรคนไทยยังนิยมการเสี่ยงโชค รัฐบาลได้ออกฉลากกินแบ่งหรือที่รู้จักกันในนามลอตเตอรี่ หรือ หวยรัฐบาล ตัวเลขของฉลากกินแบ่ง มี 6 ตัวเลข ซึ่งก็มีจำนวนฉลากทั้งสิ้น 1 ล้าน ฉบับ มีรางวัลที่หนึ่งมี 1 รางวัล รางวัลที่สอง มี 5 รางวัล รางวัลที่สามมี 10 รางวัล รางวัลที่สี่มี 50 รางวัล รางวัลที่ห้ามี 100 รางวัล

        โอกาสที่จะถูกรางวัลที่หนึ่ง คือ

        โอกาสที่จะถูกรางวัลที่ 1 ถึง 5 มี

ดังนั้นถ้าเหตุการณ์ที่ปรากฏแต่ละครั้งมีโอกาสเท่าเทียมกับสิ่งที่เป็นความน่าจะเป็นคือ



        ลักษณะที่กล่าวมานี้เห็นว่าโอกาสหรือสิ่งที่เป็นเหตุการณ์แต่ละครั้งที่ปรากฏ จะมีโอกาสความน่าจะเป็นเท่ากัน ลักษณะจึงเหมือนการทอยเหรียญ ลูกเต๋า หรือการซื้อลอตเตอรี่ ทุกครั้งที่มีเหตุการณ์เกิดขึ้นมีความน่าจะเป็นที่ชัดเจน

ที่มา : จากwww.panyathai.or.th/wiki/index.php/ความน่าจะเป็น

การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์

การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ แบ่งได้ 2 แบบดังนี้          
           1. การให้เหตุผลแบบอุปนัย
           2. การให้เหตุผลแบบนิรนัย 

          1. การให้เหตุผลแบบอุปนัย

                    การให้เหตุผลแบบอุปนัย  เป็นการให้เหตุผลโดยอาศัยข้อสังเกตหรือผลการทดลองจากหลาย ๆ ตัวอย่าง มาสรุปเป็นข้อตกลง หรือข้อคาดเดาทั่วไป  หรือคำพยากรณ์ ซึ่งจะเห็นว่าการจะนำเอา  ข้อสังเกต   หรือผลการทดลองจากบางหน่วยมาสนับสนุนให้ได้ข้อตกลง หรือ ข้อความทั่วไปซึ่งกินความถึงทุกหน่วย ย่อมไม่สมเหตุสมผล  เพราะเป็นการอนุมานเกินสิ่งที่กำหนดให้ ซึ่งหมายความว่า  การให้เหตุผลแบบอุปนัยจะต้องมีกฎของความสมเหตุสมผลเฉพาะของตนเอง  นั่นคือ  จะต้องมีข้อสังเกต หรือผลการทดลอง หรือ มีประสบการณ์ที่มากมายพอที่จะปักใจเชื่อได้  แต่ก็ยังไม่สามารถแน่ใจในผลสรุปได้เต็มที่ เหมือนกับการให้เหตุผลแบบนิรนัย  ดังนั้นจึงกล่าวได้ว่าการให้เหตุผลแบบนิรนัยจะให้ความแน่นอน แต่การให้เหตุผลแบบอุปนัย  จะให้ความน่าจะเป็น

                 ตัวอย่างการให้เหตุผลแบบอุปนัย  เช่น  เราเคยเห็นว่ามีปลาจำนวนมากที่ออกลูกเป็นไข่เราจึงอนุมานว่า "ปลาทุกชนิดออกลูกเป็นไข่"  ซึ่งกรณีนี้ถือว่าไม่สมเหตุสมผล  ทั้งนี้เพราะ ข้อสังเกต  หรือ  ตัวอย่างที่พบยังไม่มากพอที่จะสรุป  เพราะโดยข้อเท็จจริงแล้วมีปลาบางชนิดที่ออกลูกเป็นตัว  เช่น  ปลาหางนกยูง เป็นต้น

                โดยทั่วไปการให้เหตุผลแบบอุปนัยนี้  มักนิยมใช้ในการศึกษาค้นคว้าคุณสมบัติต่าง ๆ ทางด้านวิทยาศาสตร์  เช่น ข้อสรุปที่ว่า  สารสกัดจากสะเดาสามารถใช้เป็นยากำจัดศัตรูพืชได้ ซึ่งข้อสรุปดังกล่าวมาจากการทำการทดลอง ซ้ำ ๆ กันหลาย ๆ ครั้ง  แล้วได้ผลการทดลองที่ตรงกันหรือในทางคณิตศาสตร์จะใช้การให้เหตุผลแบบอุปนัย  ในการสร้างสัจพจน์ เช่น  เมื่อเราทดลองลากเส้นตรงสองเส้นให้ตัดกัน  เราก็พบว่าเส้นตรงสองเส้นจะตัดกันเพียงจุด ๆ เดียวเท่านั้น  ไม่ว่าจะทดลองลากกี่ครั้งก็ตาม  เราก็อนุมานว่า    "เส้นตรงสองเส้นตัดกันเพียงจุด ๆ เดียวเท่านั้น"           

                © ตัวอย่าง 1.

เมื่อเรามองไปที่ห่านกลุ่มหนึ่งพบว่า       
             §ห่านตัวนี้สีขาว
         § ห่านตัวนั้นก็สีขาว
         §  ห่านตัวโน้นก็สีขาว     
        § ห่านนั้นก็สีขาว

 ดังนั้น ห่านทุกตัวคงจะต้องมีสีขาว

           © ตัวอย่าง 2

ในการบวกเลข   2  จำนวน เราพบว่า
       1+2  = 2+1
       2+3  = 3+2       
       …………
      …………

ดังนั้น เราอาจสรุปได้ว่าทุกๆจำนวน a และ b  จะได้ว่า a + b = b + a

           © ตัวอย่าง 3 

 จากการสร้างรูปสามเหลี่ยมในระนาบ  พบว่า
         § เส้นมัธยฐานของสามเหลี่ยมรูป A พบกันที่จุดๆหนึ่ง
         § เส้นมัธยฐานของสามเหลี่ยมรูป B พบกันที่จุดๆหนึ่ง
         §  เส้นมัธยฐานของสามเหลี่ยมรูป C พบกันที่จุดๆหนึ่

  ดังนั้น เส้นมัธยฐานของสามเหลี่ยมใดๆ  พบกันที่จุดๆหนึ่งเสมอ

¨¨ ข้อสังเกต 

1.ข้อสรุปของการให้เหตุผลแบบอุปนัยอาจจะไม่จริงเสมอไป

2. การสรุปผลของการให้เหตุผลแบบอุปนัยอาจขึ้นอยู่กับประสบการณ์ของผู้สรุป

3. ข้อสรุปที่ได้จากการให้เหตุผลแบบอุปนัยไม่จำเป็นต้องเหมือนกัน

       ตัวอย่าง   กำหนด จำนวน 2, 4, 6 , a จงหา จำนวน a  จะได้ a = 8                      
                       กำหนด จำนวน 2, 4, 6 , a จงหา จำนวน a                        
                      จะได้ a = 10  เพราะว่า 4 + 6  = 10
                      กำหนด จำนวน 2, 4, 6 , a จงหา จำนวน a  จะได้ a = 22                     
                      เพราะว่า 6 = (2 x 4)-2 และ 22 = (4 x 6)-2

4. ข้อสรุปของการให้เหตุผลแบบอุปนัยอาจ ผิดพลาดได้

ตัวอย่าง ให้ F(n) = n² - 79n + 1601

ทดลองแทนค่าจำนวนนับ n ใน F(n)
n = 1 ได้  F(1) = 1523 เป็นจำนวนเฉพาะn = 2 ได้  F(2) = 1447 เป็นจำนวนเฉพาะn = 3 ได้  F(3) = 1373 เป็นจำนวนเฉพาะ

F(n) = n² - 79n + 1601

แทนค่า n ไปเรื่อยๆ จนกระทั่งแทน n = 79  ได้ F(79)  เป็นจำนวนเฉพาะ

จากการทดลองดังกล่าว   อาจสรุปได้ว่า  n² - 79n + 1601 เป็นจำนวนเฉพาะ สำหรับทุกจำนวนนับ  
 แต่...  F(n)   = n² - 79n + 1601 F(80)
                    = 80² - (79)(80) + 1601
                   =  1681
                   =   (41)(41)

F(80) ไม่เป็นจำนวนเฉพาะ

            

 2. การให้เหตุผลแบบนิรนัย

                 เป็นการนำความรู้พื้นฐานที่อาจเป็นความเชื่อ ข้อตกลง กฏ หรือบทนิยาม  ซึ่งเป็นสิ่งที่รู้มาก่อนและยอมรับว่าเป็นจริง เพื่อหาเหตุผลนำไปสู่ข้อสรุป

            © ตัวอย่าง 1

  § มนุษย์ทุกคนเป็นสิ่งมีชีวิต     และ
  § นายแดงเป็นมนุษย์คนหนึ่ง 
 เพราะฉะนั้น นายแดงจะต้องเป็นสิ่งมีชีวิต

          © ตัวอย่าง 2

 § ปลาโลมาทุกตัวเป็นสัตว์เลี้ยงลูกด้วยนม  และ

§ สัตว์เลี้ยงลูกด้วย นม ทุกตัวมีปอด
ดังนั้น ปลาโลมาทุกตัวมีปอด

              © ตัวอย่าง 3

 § แมงมุมทุกตัวมี 6 ขา  และ

 § สัตว์ที่มี 6 ขา ทุกตัวมีปีก
ดังนั้น แมงมุมทุกตัวมีปีก

             ©  ตัวอย่าง 4

 § ถ้านายดำถูกล๊อตเตอรี่รางวัลที่หนึ่ง   นายดำจะมีเงินมากมาย
 § แต่นายดำไม่ถูกล๊อตเตอรี่รางวัลที่หนึ่ง
ดังนั้น นายดำมีเงินไม่มาก

              ถ้าผลสรุปตามมาจากเหตุที่กำหนดให้  เรียกว่า ผลสรุปสมเหตุสมผล   แต่ถ้าผลสรุปไม่ได้มาจากเหตุที่กำหนดให้ เรียกว่า ผลสรุปไม่สมเหตุสมผล

             ตัวอย่างผลสรุปสมเหตุสมผล

เหตุ       ปลาวาฬทุกตัวเป็นสัตว์เลี้ยงลูกด้วยนม
              และสัตว์เลี้ยงลูกด้วยนมทุกตัวมีปอด
ผล        ดังนั้นปลาวาฬทุกตัวมีปอด             ข้อสังเกต เหตุเป็นจริง และ ผลเป็นจริง

 เหตุ     แมงมุมทุกตัวมี 6 ขา
             และสัตว์ที่มี 6 ขา ทุกตัวมีปีก
ผล       ดังนั้นแมงมุมทุกตัวมีปีก

              ข้อสังเกต เหตุเป็นเท็จ และ ผลเป็นเท็จ

 เหตุ      ถ้านายดำถูกล๊อตเตอรี่รางวัลที่หนึ่ง 
             นายดำจะมีเงินมากมาย
            แต่นายดำไม่ถูกล๊อตเตอรี่รางวัลที่หนึ่ง
ผล       ดังนั้นนายดำมีเงินไม่มาก

ข้อสังเกต เหตุอาจเป็นจริงและผลอาจเป็นเท็จ

             ข้อสังเกต  ผลสรุปสมเหตุสมผลไม่ได้ประกันว่าข้อสรุปจะต้องเป็นจริงเสมอไป

วิธีการตรวจสอบว่าผลสรุปสมเหตุสมผลใช้แผนภาพของ เวนน์ - ออยเลอร์  โดยวาดแผนภาพตามเหตุทุกกรณีที่เป็นไปได้แล้วพิจารณาว่าแผนภาพแต่ละกรณีแสดงผลสรุปตามที่กำหนดให้หรือไม่  ถ้าทุกแผนภาพแสดงผลสรุปตามที่กำหนดกล่าวว่า  “ผลสรุปสมเหตุสมผล”  แต่ถ้ามีบางแผนภาพไม่แสดงผลสรุปตามที่กำหนดให้จะกล่าวว่า  “ผลสรุปไม่สมเหตุสมผล”

              ตัวอย่างของข้อความและแผนภาพที่แสดงความหมายของข้อความที่ใช้ในการอ้างเหตุผลทั้งสี่แบบ  ที่ใช้ในการอ้างเหตุผลส่วนใหญ่  ได้แก่

§ ตัวอย่าง 1 สมาชิกทุกตัวของ A เป็นสมาชิกของ B

ข้อความ  สัตว์เลี้ยงลูกด้วยนมเป็นสัตว์เลือดอุ่น
จะเขียนแผนภาพได้ดังนี้

§ ตัวอย่าง 2 ไม่มีสมาชิกตัวใดของ A เป็นสมาชิกของ B

ข้อความ  ไม่มีไก่ตัวใดมีนม
จะเขียนแผนภาพได้ดังนี้

 § ตัวอย่าง 3 มีสมาชิกบางตัวของ A เป็นสมาชิกของ B

ข้อความ  รถโดยสารบางคันเป็นรถปรับอากาศ
จะเขียนแผนภาพได้ดังนี้

§ ตัวอย่าง 4 มีสมาชิกบางตัวของ A ไม่เป็นสมาชิกของ B 

ข้อความ  รถโดยสารบางคันไม่ได้เป็นรถปรับอากาศ
จะเขียนแผนภาพได้ดังนี้                                                          

ที่มา : จาก www.thaigoodview.com/node/18026